Большая советская энциклопедия - почти периодическая функция

Почти периодическая функция, функция, значения которой при добавлении к аргументу надлежащим образом выбранных постоянных чисел (почти периодов) приближенно повторяются. Более точно: непрерывная функция f (x), определенная для всех действительных значений х, называется почти периодической, если для каждого e > 0 можно указать такое l = l (e), что в каждом интервале оси х длины l найдется хотя бы одно число t = t(e), для которого при любом х выполняется неравенство |f (x + t) — f (x)| < e. Числа t называются почти периодами функции f (x). Периодическая функции суть частные случаи П. п. ф.; простейшие примеры П. п. ф., не являющихся периодическими, получаются в результате сложения периодических функций с несоизмеримыми периодами, например cosx + cosx. Некоторые наиболее важные свойства П. п. ф.: 1) П. п. ф. ограничена и равномерно непрерывна на всей оси х. 2) Сумма и произведение конечного числа П. п. ф. есть также П. п. ф. 3) Предел равномерно сходящейся последовательности П. п. ф. есть также П. п. ф. 4) Для каждой П. п. ф. существует среднее значение (на всей оси х): 5) Каждой П. п. ф. можно сопоставить ряд Фурье: , причем l1, l2, …, ln, …, может быть любой последовательностью отличных друг от друга действительных чисел и 6) Равенство Парсеваля: для каждой П. п. ф. справедливо равенство: M {|f (x)|2} = . 7) Теорема единственности: если f (x) есть непрерывная П. п. ф. и если для всех действительных l М {f (х) е-ilx} = 0, то f (x) ? 0. Иначе говоря, ряд Фурье однозначно определяет П. п. ф. 8) Теорема аппроксимации: для каждого e > 0 можно указать такой конечный тригонометрический полином (mk — действительные числа), что для всех значений х выполняется неравенство: |f (x) — Pe(x)| < e; обратно, каждая функция f (x) с этим свойством является П. п. ф. Первое построение непрерывных П. п. ф. было дано датским математиком Х. Бором (1923). Еще ранее (1893) частный случай П. п. ф. — т. н. квазипериодические функции — изучил латвийский математик П. Боль. Новое построение теории П. п. ф. дал Н. Н. Боголюбов (1930). Обобщение теории П. п. ф. на разрывные функции впервые дано В. В. Степановым (1925), а потом Г. Вейлем и А. Безиковичем. Обобщение другого рода было дано советским математиком Б. М. Левитаном (1938). Лит.: Бор Г., Почти периодические функции, пер. с нем., М. — Л., 1934; Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953.